前準備として
ツールボックス → コンポーネント → Process を
フォームにDrag&Dropします。

次にProcessコンポーネントの
EnableRaisingEventsプロパティーをtrueにし、
アプリ終了時のイベントを取得可能にします。

最後にProcessコンポーネントの
Exitedイベントハンドラを作成します。
（イベント一覧よりExitedをダブルクリック）

アプリ終了時にExitedハンドラが呼び出されるので
ここへ必要な処理を記述してください。

private void button1_Click(object sender, System.EventArgs e)
{
    try
    {
        process1.StartInfo.FileName = "notepad.exe";
        process1.Start();
    }
    catch( Win32Exception )
    {
        MessageBox.Show( "実行失敗", "ERROR" );
    }
}

private void process1_Exited(object sender, System.EventArgs e)
{
    MessageBox.Show( "終了したみたい", "INFO" );
}