pingを非同期で送信するサンプルです。

Formにホスト名入力テキストボックスと
ping送信、停止ボタンと
結果を表示するテキストボックスを
それぞれ配置しています。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Text;
using System.Windows.Forms;

namespace PingTest
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        System.Net.NetworkInformation.Ping _ping = new System.Net.NetworkInformation.Ping();

        bool _bSending = false;

        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
        {
            _ping.PingCompleted += new System.Net.NetworkInformation.PingCompletedEventHandler(_ping_PingCompleted);
        }

        private void buttonStartStop_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            buttonStartStop.Enabled = false;

            if(!_bSending)
            {
                _bSending = true;

                // Ping設定: TTL=64,データは断片化されないよう指定
                System.Net.NetworkInformation.PingOptions pingOption =
                    new System.Net.NetworkInformation.PingOptions(64, true);

                // Pingで送信するデータ
                byte[] buffer = System.Text.Encoding.ASCII.GetBytes("ping test data");
            
                // Ping送信：タイムアウト１０秒
                _ping.SendAsync(textBoxHostName.Text, 10000, buffer, pingOption, null);
            }
            else
            {
                _bSending = false;

                _ping.SendAsyncCancel();
            }
        }

        void _ping_PingCompleted(object sender, System.Net.NetworkInformation.PingCompletedEventArgs e)
        {
            if(e.Cancelled)
            {
                MessageBox.Show("キャンセルされました。");
                return;
            }

            string msg;

            if(e.Error != null)
            {
                msg = e.Error.Message;
            }
            else
            {
                // 返答あり？
                if(e.Reply.Status == System.Net.NetworkInformation.IPStatus.Success)
                {
                    msg = string.Format(
                        "{0} からの応答: バイト数 ={1} 時間 ={2}ms TTL={3}",
                        e.Reply.Address,
                        e.Reply.Buffer.Length,
                        e.Reply.RoundtripTime,
                        e.Reply.Options.Ttl);
                }
                else
                {
                    msg = string.Format("Ping失敗 {0}", e.Reply.Status);
                }
            }

            textBoxLog.AppendText(msg + "\r\n");

            _bSending = false;

            buttonStartStop.Enabled = true;
        }
    }
}

DOSプロンプトからpingするように
プログラムからpingする方法です。
簡単に同期呼び出しでよければ次のようにします。

    // Pingクラス生成
    using(System.Net.NetworkInformation.Ping ping = new System.Net.NetworkInformation.Ping())
    {
        // Ping送信
        System.Net.NetworkInformation.PingReply reply = ping.Send("www.yahoo.co.jp");

        // 返答あり？
        if(reply.Status == System.Net.NetworkInformation.IPStatus.Success)
        {
            Console.WriteLine("{0} からの応答: バイト数 ={1} 時間 ={2}ms TTL={3}",
                reply.Address,
                reply.Buffer.Length,
                reply.RoundtripTime,
                reply.Options.Ttl);
        }
        else
        {
            Console.WriteLine("Ping失敗 {0}", reply.Status);
        }
    }

ホスト名からIPアドレスを取得するには
System.Net.DnsクラスのGetHostEntry関数を使います。

    // IPアドレス
    string IPaddress = "123.123.123.123";

    // IPHostEntry取得
    System.Net.IPHostEntry hostEntry = System.Net.Dns.GetHostEntry(IPaddress);

    // ホスト名を取得
    string hostname = hostEntry.HostName;

ホスト名からIPアドレスを取得するには
System.Net.DnsクラスのGetHostEntry関数を使います。

    // IPを調べたいホスト名
    string hostname = "www.yahoo.co.jp";

    // IPHostEntry取得
    System.Net.IPHostEntry hostEntry = System.Net.Dns.GetHostEntry(hostname);

    // 最初のアドレスを取得
    System.Net.IPAddress ip = hostEntry.AddressList[0];

    // xxx.xxx.xxx.xxx形式の文字列を取得
    string IPaddress = ip.ToString();

PCのIPアドレスを取得する方方です。
まずホスト名を取得し、それを元にエントリーを列挙しています。

IPアドレスは１つとは限らないので注意が必要です。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Text;
using System.Windows.Forms;
using System.Net;   // これが必要

namespace WindowsFormsApplication1
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            // ホスト名を取得
            string hostname = Dns.GetHostName();

            // ホスト名からエントリー取得
            IPHostEntry ipentry = Dns.GetHostEntry(hostname);

            // IPアドレスは２つ以上のケースもあるのですべて列挙（有線＋無線など）
            string msg = string.Empty;
            foreach (IPAddress ip in ipentry.AddressList)
            {
                msg += ip.ToString() + "\r\n";
            }

            MessageBox.Show(msg);
        }
    }
}

PCのホスト名を取得するには
System.Net.DnsクラスのGetHostName関数を使います。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Text;
using System.Windows.Forms;
using System.Net;   // これが必要

namespace WindowsFormsApplication1
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            MessageBox.Show(Dns.GetHostName());
        }
    }
}