ClipboardクラスのSet～関数群を利用します。
下の例はFormにTextBoxとButtonを貼り付けて
Buttonが押されたらTextBoxのテキストをクリップボードに設定しています。


using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Text;
using System.Windows.Forms;

namespace WindowsFormsApplication1
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            // TextBoxのテキストをクリップボードに設定します。いずれの方法でもOK
            Clipboard.SetText(textBox1.Text);
            Clipboard.SetData(DataFormats.Text, textBox1.Text);
            Clipboard.SetDataObject(textBox1.Text);
        }
    }
}